Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 11. Комбинации конуса и пирамиды. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 89.

Условие.

3. Какую пирамиду можно вписать в конус?

Решение 1.

Решение 3.

Пирамида называется вписанной в конус, если ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса.

Условие вписывания пирамиды в конус

Рассмотрим пирамиду $S A_1 A_2 ... A_n$, вписанную в конус. Пусть $S$ — общая вершина, а $O$ — центр основания конуса.

1. Вершина пирамиды $S$ совпадает с вершиной конуса.
2. Основание пирамиды — многоугольник $A_1 A_2 ... A_n$ — вписано в окружность основания конуса. Это означает, что все вершины основания ($A_1, A_2, ..., A_n$) лежат на этой окружности.
3. Из второго пункта следует, что около основания пирамиды можно описать окружность. Центр этой окружности, точка $O$, является центром основания конуса. Расстояния от центра $O$ до всех вершин основания равны радиусу $R$ этой окружности: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.
4. Высота конуса $SO$ (где $S$ — вершина, $O$ — центр основания) перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $SO$ является и высотой пирамиды, а ее основание — точка $O$ — это центр описанной окружности многоугольника $A_1 A_2 ... A_n$.
5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, ..., \triangle SOA_n$. Все они имеют общий катет $SO$ (высота пирамиды $H$) и равные вторые катеты $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.
6. По теореме Пифагора, гипотенузы этих треугольников, которые являются боковыми ребрами пирамиды, равны между собой:
   $SA_1 = SA_2 = ... = SA_n = \sqrt{H^2 + R^2}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что у любой пирамиды, вписанной в конус, все боковые ребра равны.

Это условие является не только необходимым, но и достаточным. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то ее высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Следовательно, такую пирамиду всегда можно вписать в конус, вершина которого совпадает с вершиной пирамиды, а основанием служит окружность, описанная около основания пирамиды.

Ответ: В конус можно вписать такую пирамиду, у которой все боковые ребра равны между собой. Эквивалентное условие: основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около многоугольника, лежащего в основании пирамиды.