Номер 26, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 86.

Условие.

10.26. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его меньшего угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Катеты равны $BC = 18$ см и $AC = 24$ см.

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$
$AB = \sqrt{900} = 30$ см.

2. Определим меньший острый угол. В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Сравним катеты: $18 < 24$, значит $BC < AC$. Следовательно, угол A, лежащий напротив катета BC, является меньшим острым углом треугольника.

3. Проведем биссектрису AL из вершины A к катету BC. Нужно найти длину отрезка AL.

4. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{CL}{LB} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

При этом $CL + LB = BC = 18$ см. Пусть $CL = 4x$, тогда $LB = 5x$.
$4x + 5x = 18$
$9x = 18$
$x = 2$
Отсюда находим длину отрезка CL: $CL = 4 \cdot 2 = 8$ см.

5. Рассмотрим треугольник ACL. Угол C в нем прямой ($90^\circ$), катет $AC = 24$ см, катет $CL = 8$ см. Искомая биссектриса AL является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора:
$AL^2 = AC^2 + CL^2$
$AL^2 = 24^2 + 8^2 = 576 + 64 = 640$
$AL = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $8\sqrt{10}$ см.