Номер 19, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 85.

Условие.

10.19. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $\alpha$, а угол между диагональю осевого сечения и этой плоскостью равен $\beta$. Найдите радиусы оснований усечённого конуса, если его высота равна $h$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим радиусы большего и меньшего оснований как $R$ и $r$ соответственно. Высота усечённого конуса, по условию, равна $h$.

Пусть осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — диаметры оснований. Тогда $AD = 2R$, а $BC = 2r$. Проведём высоту $CC_1$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Длина этой высоты равна высоте конуса, то есть $CC_1 = h$.

Угол между образующей $CD$ и плоскостью большего основания — это угол, образованный образующей $CD$ и её проекцией $C_1D$ на эту плоскость. По условию задачи, этот угол равен $\alpha$, то есть $\angle CDC_1 = \alpha$.

Диагональ осевого сечения — это отрезок $AC$. Угол между диагональю $AC$ и плоскостью большего основания — это угол, образованный диагональю $AC$ и её проекцией $AC_1$ на эту плоскость. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle ACC_1 = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC_1D$. Длина катета $C_1D$ равна разности радиусов оснований: $C_1D = R - r$. Используя определение котангенса, получаем:$\cot(\alpha) = \frac{C_1D}{CC_1} = \frac{R-r}{h}$.Отсюда следует первое уравнение: $R - r = h \cot(\alpha)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$. Длина катета $AC_1$ равна сумме радиусов оснований: $AC_1 = R + r$. Используя определение котангенса, получаем:$\cot(\beta) = \frac{AC_1}{CC_1} = \frac{R+r}{h}$.Отсюда следует второе уравнение: $R + r = h \cot(\beta)$.

Мы получили систему двух линейных уравнений для нахождения $R$ и $r$:$ \begin{cases} R + r = h \cot(\beta) \\ R - r = h \cot(\alpha) \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $R$:$(R + r) + (R - r) = h \cot(\beta) + h \cot(\alpha)$$2R = h(\cot(\alpha) + \cot(\beta))$$R = \frac{h}{2}(\cot(\alpha) + \cot(\beta))$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $r$:$(R + r) - (R - r) = h \cot(\beta) - h \cot(\alpha)$$2r = h(\cot(\beta) - \cot(\alpha))$$r = \frac{h}{2}(\cot(\beta) - \cot(\alpha))$

Ответ: радиус большего основания $R = \frac{h}{2}(\cot(\alpha) + \cot(\beta))$, радиус меньшего основания $r = \frac{h}{2}(\cot(\beta) - \cot(\alpha))$.