Номер 17, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 85.

Условие.

10.17. Высота усечённого конуса равна 6 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет $60^\circ$. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), высоту как $h$, а образующую как $l$.

Согласно условию задачи, дано:

• Высота $h = 6$ см.
• Угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 60^\circ$.
• Диагонали осевого сечения перпендикулярны.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию. Пусть основания этой трапеции равны $2R$ и $2r$, боковая сторона равна образующей $l$, а высота равна высоте конуса $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $l$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и проекцией образующей на большее основание, равной $R-r$ (второй катет). Угол между образующей и большим основанием в этом треугольнике равен $60^\circ$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике найдем длину образующей $l$:

$\sin(60^\circ) = \frac{h}{l} \implies l = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь используем свойство равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны. Высота такой трапеции равна полусумме ее оснований.

$h = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

Поскольку $h = 6$ см, то сумма радиусов оснований конуса:

$R + r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставим найденные значения $R+r = 6$ см и $l = 4\sqrt{3}$ см в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $24\pi\sqrt{3}$ см².