Номер 11, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 84.

Условие.

10.11. Площади оснований усечённого конуса равны $4 \text{ см}^2$ и $16 \text{ см}^2$. Через середину высоты усечённого конуса проведена плоскость, параллельная его основаниям. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усечённого конуса, а $S_x$ — площадь искомого сечения. Из условия задачи имеем:

$S_1 = 4 \text{ см}^2$

$S_2 = 16 \text{ см}^2$

Площадь круга ($S$) связана с его радиусом ($r$) формулой $S = \pi r^2$. Следовательно, радиус можно выразить через площадь как $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

Рассмотрим усечённый конус как часть полного конуса. Все параллельные сечения конуса, включая его основания, являются подобными кругами. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В случае конуса, коэффициент подобия сечений равен отношению их расстояний от вершины конуса.

Пусть $h$ — расстояние от вершины полного конуса до сечения. Тогда площадь сечения $S(h)$ пропорциональна квадрату этого расстояния: $S(h) = k h^2$, где $k$ — некоторый постоянный коэффициент. Отсюда следует, что корень квадратный из площади сечения линейно зависит от расстояния до вершины: $\sqrt{S(h)} = \sqrt{k} \cdot h$.

Пусть меньшее основание с площадью $S_1$ находится на расстоянии $h_1$ от вершины, а большее основание с площадью $S_2$ — на расстоянии $h_2$. Высота усечённого конуса равна $H = h_2 - h_1$.

Секущая плоскость проведена через середину высоты усечённого конуса. Это означает, что расстояние от вершины до этого сечения, $h_x$, является средним арифметическим расстояний $h_1$ и $h_2$:

$h_x = h_1 + \frac{H}{2} = h_1 + \frac{h_2 - h_1}{2} = \frac{2h_1 + h_2 - h_1}{2} = \frac{h_1 + h_2}{2}$

Поскольку существует линейная зависимость между $\sqrt{S}$ и $h$, мы можем записать:

$\sqrt{S_x} = \sqrt{k} \cdot h_x = \sqrt{k} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{\sqrt{k}h_1 + \sqrt{k}h_2}{2} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Эта формула позволяет найти площадь среднего сечения, зная площади оснований.

Подставим известные значения в полученную формулу:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

Теперь вычислим корень из искомой площади:

$\sqrt{S_x} = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Чтобы найти саму площадь $S_x$, возведём полученное значение в квадрат:

$S_x = (3 \text{ см})^2 = 9 \text{ см}^2$

Ответ: $9 \text{ см}^2$.