Номер 18, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 85.

Условие.

10.18. Образующая усечённого конуса равна $m$ и составляет с плоскостью большего основания угол $\alpha$, а диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Пусть радиус большего основания равен $R$, а меньшего — $r$. Тогда $AD = 2R$ и $BC = 2r$. Образующая конуса является боковой стороной трапеции, то есть $CD = m$. Угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол $\angle{CDA} = \alpha$. Диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна образующей $CD$, следовательно, $\angle{ACD} = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нём катет $CD = m$, а прилежащий к нему острый угол $\angle{CDA} = \alpha$. Гипотенуза $AD$ этого треугольника является диаметром большего основания конуса.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём гипотенузу $AD$:

$\cos(\alpha) = \frac{CD}{AD} = \frac{m}{AD}$

Отсюда $AD = \frac{m}{\cos(\alpha)}$.

Так как $AD = 2R$, получаем радиус большего основания:

$2R = \frac{m}{\cos(\alpha)} \Rightarrow R = \frac{m}{2\cos(\alpha)}$

Теперь найдём радиус меньшего основания $r$. Для этого нам нужно определить длину меньшего основания трапеции $BC$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. $CH$ является высотой усечённого конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Катет $HD$ является проекцией боковой стороны $CD$ на основание $AD$.

$HD = CD \cdot \cos(\alpha) = m \cos(\alpha)$

В равнобедренной трапеции длина большего основания связана с длиной меньшего основания и проекцией боковой стороны на него соотношением: $AD = BC + 2 \cdot HD$.

Выразим отсюда $BC$:

$BC = AD - 2 \cdot HD$

Подставим найденные ранее выражения для $AD$ и $HD$:

$BC = \frac{m}{\cos(\alpha)} - 2m \cos(\alpha) = m \left( \frac{1}{\cos(\alpha)} - 2\cos(\alpha) \right) = m \frac{1 - 2\cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$, получаем $1 - 2\cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha)$.

Таким образом, $BC = \frac{-m \cos(2\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Так как $BC = 2r$, находим радиус меньшего основания:

$2r = \frac{-m \cos(2\alpha)}{\cos(\alpha)} \Rightarrow r = \frac{-m \cos(2\alpha)}{2\cos(\alpha)}$

Заметим, что для существования такого усечённого конуса (то есть для $r > 0$) необходимо, чтобы $\cos(2\alpha) < 0$, что с учётом того, что $\alpha$ — острый угол, даёт условие $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: радиус большего основания $R = \frac{m}{2\cos(\alpha)}$, радиус меньшего основания $r = -\frac{m \cos(2\alpha)}{2\cos(\alpha)}$.