Номер 12, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 84.

Условие.

10.12. Точка $O$ — центр большего основания усечённого конуса, точка $O_1$ — центр его меньшего основания, точка $O_2$ — середина отрезка $OO_1$. Площадь большего основания равна $4\pi$ см$^2$, а меньшего — $\pi$ см$^2$. Через точку $O_2$ проведена плоскость, перпендикулярная прямой $OO_1$. Найдите отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_1O_2$ к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_2O$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Нахождение радиусов оснований.
Пусть $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания усеченного конуса. Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Для большего основания:
$S_{большего} = \pi R^2 = 4\pi \text{ см}^2$
$R^2 = 4 \text{ см}^2$
$R = 2 \text{ см}$

Для меньшего основания:
$S_{меньшего} = \pi r^2 = \pi \text{ см}^2$
$r^2 = 1 \text{ см}^2$
$r = 1 \text{ см}$

2. Нахождение радиуса сечения.
Плоскость, проведенная через точку $O_2$ (середину высоты $OO_1$) перпендикулярно оси конуса, образует в сечении круг. Радиус этого круга, обозначим его $R_2$, является средним арифметическим радиусов оснований $R$ и $r$. Это следует из подобия треугольников в осевом сечении конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию.

$R_2 = \frac{R + r}{2} = \frac{2 + 1}{2} = 1.5 \text{ см}$

3. Разделение конуса на две части.
Секущая плоскость делит исходный усеченный конус на два новых усеченных конуса:

- Верхний усеченный конус с высотой $O_1O_2$, радиусами оснований $r = 1$ см и $R_2 = 1.5$ см.

- Нижний усеченный конус с высотой $O_2O$, радиусами оснований $R_2 = 1.5$ см и $R = 2$ см.

Поскольку точка $O_2$ — середина высоты $OO_1$, то высоты полученных конусов равны: $O_1O_2 = O_2O$. Следовательно, их образующие также равны. Обозначим длину образующей каждого из этих малых усеченных конусов как $l$.

4. Вычисление площадей боковых поверхностей.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Найдем площадь боковой поверхности верхнего усеченного конуса (с высотой $O_1O_2$):
$S_1 = \pi(r + R_2)l = \pi(1 + 1.5)l = 2.5\pi l$

Найдем площадь боковой поверхности нижнего усеченного конуса (с высотой $O_2O$):
$S_2 = \pi(R_2 + R)l = \pi(1.5 + 2)l = 3.5\pi l$

5. Нахождение отношения площадей.
Найдем отношение площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_1O_2$ к площади боковой поверхности усечённого конуса с высотой $O_2O$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2.5\pi l}{3.5\pi l} = \frac{2.5}{3.5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ответ: $5/7$.