Номер 7, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 83.

Условие.

10.7. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $\angle D = 45^{\circ}$, $AD = 7$ см, $CD = 2\sqrt{2}$ см. Трапеция вращается вокруг прямой $AB$. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

При вращении прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усеченный конус. Радиусами оснований этого конуса являются основания трапеции $AD$ и $BC$, а образующей — боковая сторона $CD$.

Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$,

где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, $l$ — длина образующей.

Из условия задачи нам известны:

• Радиус большего основания $R = AD = 7$ см.
• Длина образующей $l = CD = 2\sqrt{2}$ см.

Нам необходимо найти радиус меньшего основания $r = BC$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как $ABCD$ — прямоугольная трапеция с $AB \perp AD$, то $ABCH$ — прямоугольник, и $CH = AB$. Также образуется прямоугольный треугольник $CHD$, где $\angle CHD = 90^\circ$.

В треугольнике $CHD$ известны гипотенуза $CD = 2\sqrt{2}$ см и угол $\angle D = 45^\circ$. Найдем катеты $CH$ и $HD$:

$CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 2\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$ см.

$HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$ см.

Поскольку $ABCH$ — прямоугольник, то $AH = BC$. Мы можем найти $AH$ из соотношения:

$AD = AH + HD$

$AH = AD - HD = 7 - 2 = 5$ см.

Следовательно, радиус меньшего основания $r = BC = AH = 5$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса, подставив все известные значения в формулу:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(7+5) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.