Номер 2, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 83.

Условие.

10.2. Площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, равна $12\pi \text{ см}^2$. В каком отношении плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины, если радиус основания равен $3\sqrt{3} \text{ см}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — полная высота конуса, а $R$ — радиус его основания. По условию, $R = 3\sqrt{3}$ см.

Секущая плоскость, перпендикулярная высоте, отсекает от исходного конуса меньший конус. Пусть высота этого меньшего конуса равна $h$ (это расстояние от вершины до секущей плоскости), а радиус его основания — $r$.

Сечение представляет собой круг, площадь которого $S_{сеч}$ по условию равна $12\pi$ см$^2$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$. Таким образом, мы можем найти радиус сечения $r$:

$S_{сеч} = \pi r^2 = 12\pi$

$r^2 = 12$

$r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Малый конус (с высотой $h$ и радиусом $r$) подобен большому исходному конусу (с высотой $H$ и радиусом $R$). Осевое сечение обоих конусов представляет собой два подобных равнобедренных треугольника. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению радиусов оснований:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим известные значения радиусов $r = 2\sqrt{3}$ см и $R = 3\sqrt{3}$ см:

$\frac{h}{H} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$

Это соотношение показывает, что расстояние от вершины до секущей плоскости составляет $\frac{2}{3}$ от всей высоты конуса, то есть $h = \frac{2}{3}H$.

Вопрос задачи — найти отношение, в котором плоскость сечения делит высоту конуса, считая от его вершины. Это означает, что нам нужно найти отношение длины отрезка от вершины до плоскости ($h$) к длине оставшегося отрезка от плоскости до основания ($H - h$).

Найдем длину второго отрезка:

$H - h = H - \frac{2}{3}H = \frac{1}{3}H$

Теперь найдем искомое отношение:

$\frac{h}{H - h} = \frac{\frac{2}{3}H}{\frac{1}{3}H} = \frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$

Таким образом, плоскость сечения делит высоту конуса в отношении $2:1$, считая от вершины.

Ответ: $2:1$.