Номер 36, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 36, страница 80.

Условие.

9.36. Площадь равнобокой трапеции равна $32\sqrt{3}$ см², а острый угол – $60^\circ$.

Найдите боковую сторону трапеции, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, боковой стороной $c$, высотой $h$ и площадью $S$. По условию, площадь трапеции $S = 32\sqrt{3}$ см$^2$, а острый угол при основании равен $60^\circ$.

Особое свойство трапеции, в которую можно вписать окружность, заключается в том, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны. Следовательно:
$a + b = c + c = 2c$

Формула площади трапеции:
$S = \frac{a+b}{2}h$
Подставим в эту формулу выражение для суммы оснований ($a+b=2c$):
$S = \frac{2c}{2}h = ch$

Теперь выразим высоту $h$ через боковую сторону $c$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет, противолежащий острому углу) и отрезком на большем основании. Острый угол в этом треугольнике равен $60^\circ$.
Из определения синуса:
$\sin(60^\circ) = \frac{h}{c}$
Отсюда находим высоту:
$h = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим полученное выражение для $h$ в нашу формулу площади $S = ch$:
$S = c \cdot \left(c \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{c^2\sqrt{3}}{2}$

Теперь, используя известное значение площади $S = 32\sqrt{3}$, составим и решим уравнение:
$32\sqrt{3} = \frac{c^2\sqrt{3}}{2}$
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$32 = \frac{c^2}{2}$
Умножим обе части на 2:
$c^2 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$ (длина стороны может быть только положительным числом).

Таким образом, длина боковой стороны трапеции составляет 8 см.
Ответ: 8 см.