Номер 29, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 79.

Условие.

9.29. Отрезок $MO$ – высота конуса, отрезки $MA$ и $MB$ – его образующие, $MO = 4\sqrt{2}$ см. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 2 см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть M - вершина конуса, O - центр его основания, а MO - высота. По определению высоты конуса, отрезок MO перпендикулярен плоскости основания. В основании конуса лежит круг, а точки A и B принадлежат окружности этого круга, поэтому отрезок AB является хордой.

Расстояние от точки O до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из O на AB. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой AB как K. Тогда $OK \perp AB$, и по условию задачи $OK = 2$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки O до плоскости AMB, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки O на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр OH.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и K.

1. Поскольку $MO$ — высота конуса, то $MO$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и прямой AB. Итак, $MO \perp AB$.

2. По построению, $OK \perp AB$.

3. Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MO$ и $OK$, которые лежат в плоскости MOK. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AB перпендикулярна плоскости MOK ($AB \perp (MOK)$).

4. Плоскость AMB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна плоскости MOK. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $AMB$ перпендикулярна плоскости $MOK$.

5. Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая MK.

6. Расстояние от точки O, лежащей в плоскости MOK, до плоскости AMB равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на линию их пересечения MK. Таким образом, искомое расстояние — это высота OH в треугольнике MOK, проведенная к стороне MK.

Рассмотрим треугольник MOK. Так как $MO \perp$ плоскости основания, а отрезок OK лежит в этой плоскости, то $\angle MOK = 90^\circ$. Значит, треугольник MOK — прямоугольный.

Нам известны длины катетов этого треугольника:

• $MO = 4\sqrt{2}$ см (высота конуса, по условию)
• $OK = 2$ см (расстояние от O до AB, по условию)

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы MK:

$MK^2 = MO^2 + OK^2$

$MK^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = (16 \cdot 2) + 4 = 32 + 4 = 36$

$MK = \sqrt{36} = 6$ см.

Высоту OH прямоугольного треугольника MOK, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя метод площадей. Площадь треугольника MOK можно выразить двумя способами:

$S_{MOK} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot OH$

Отсюда следует:

$MO \cdot OK = MK \cdot OH$

$OH = \frac{MO \cdot OK}{MK}$

Подставим известные значения:

$OH = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Таким образом, расстояние от точки O до плоскости AMB равно $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ см.