Номер 26, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 79.

Условие.

9.26. Развёрткой боковой поверхности конуса является полукруг. Какова величина угла при вершине осевого сечения конуса?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса (обозначим её $l$), а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса (обозначим её $C$).

Пусть радиус основания конуса равен $r$. Тогда длина окружности основания вычисляется по формуле: $C = 2\pi r$.

Согласно условию задачи, развёртка боковой поверхности является полукругом. Радиус этого полукруга равен образующей конуса $l$. Длина дуги полукруга составляет половину длины окружности с радиусом $l$, то есть: $L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot (2\pi l) = \pi l$.

Поскольку длина дуги развёртки должна быть равна длине окружности основания конуса, мы можем составить уравнение: $C = L_{дуги}$
$2\pi r = \pi l$.

Разделив обе части уравнения на $\pi$, мы получаем связь между радиусом основания и образующей конуса: $2r = l$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $d = 2r$.

Из найденного нами соотношения $l = 2r$ следует, что в этом треугольнике все три стороны равны друг другу: боковые стороны равны $l$, и основание $d=2r$ также равно $l$. Следовательно, осевое сечение является равносторонним треугольником.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, искомый угол при вершине осевого сечения конуса равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.