Номер 20, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 78.

Условие.

9.20. Равнобедренный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, содержащей его основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Тело вращения, полученное при вращении равнобедренного треугольника вокруг его основания, состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника как $l$, а высоту, проведенную к основанию $a$, как $h$. При вращении треугольника вокруг основания, высота $h$ становится радиусом $r$ общего основания конусов (то есть, $r = h$), а боковая сторона $l$ становится образующей конусов.

Высота, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике один катет равен половине основания ($a/2$), второй катет равен высоте ($r$), а гипотенуза равна боковой стороне ($l$). Угол при вершине, противолежащий основанию, делится высотой пополам и становится равным $\alpha/2$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, выразим $r$ и $l$ через заданные $a$ и $\alpha$.

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся тангенсом угла $\alpha/2$:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{r}$
Отсюда получаем $r$:
$r = \frac{a/2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$

Для нахождения образующей $l$ воспользуемся синусом угла $\alpha/2$:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{l}$
Отсюда получаем $l$:
$l = \frac{a/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Так как тело вращения состоит из двух одинаковых конусов, искомая площадь поверхности $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi r l$

Подставим найденные выражения для $r$ и $l$ в формулу площади:
$S = 2 \pi \left(\frac{a}{2} \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)$

Теперь упростим полученное выражение, используя тригонометрическое тождество $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$:
$S = 2 \pi \frac{a^2}{4} \frac{\cot(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a^2}{2} \frac{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a^2}{2} \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}$

Ответ: $S = \frac{\pi a^2 \cos(\alpha/2)}{2 \sin^2(\alpha/2)}$.