Номер 15, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 78.

Условие.

9.15. В основании конуса проведена хорда, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $ \alpha $ ($ 0^\circ < \alpha < 180^\circ $). Угол между высотой конуса и его образующей равен $ \beta $, а длина образующей равна $ m $. Найдите данную хорду.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, а длину образующей как $l$. По условию задачи, длина образующей $l = m$. Угол между высотой и образующей равен $\beta$.

1. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ – катетами. Угол между высотой (катетом $H$) и образующей (гипотенузой $l$) равен $\beta$. Радиус $R$ является катетом, противолежащим этому углу.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\beta) = \frac{R}{l}$
Отсюда можем выразить радиус основания $R$ через известные величины $m$ и $\beta$:
$R = l \cdot \sin(\beta) = m \sin(\beta)$

2. Теперь рассмотрим основание конуса, которое является кругом радиуса $R$. В этом круге проведена хорда, стягивающая дугу с градусной мерой $\alpha$. Центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Боковые стороны этого треугольника равны $R$, а угол между ними равен $\alpha$. Длину хорды (обозначим ее $c$) можно найти по формуле длины хорды через радиус и центральный угол:
$c = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

3. Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R$, которое мы нашли на первом шаге:
$c = 2(m \sin(\beta)) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, искомая длина хорды равна $2m \sin(\beta) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $2m \sin(\beta) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$