Номер 10, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 77.

Условие.

9.10. Найдите площадь осевого сечения конуса, образовавшегося в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 см и катетом 15 см вокруг другого катета.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. В данном случае вращение происходит вокруг катета, длина которого нам неизвестна. Это означает, что:

• Гипотенуза прямоугольного треугольника является образующей конуса ($l$). По условию, $l = 17$ см.
• Катет, который не является осью вращения, является радиусом основания конуса ($r$). По условию, $r = 15$ см.
• Катет, вокруг которого происходит вращение, является высотой конуса ($h$).

1. Найдем высоту конуса $h$, используя теорему Пифагора для исходного прямоугольного треугольника: $l^2 = r^2 + h^2$.

$h^2 = l^2 - r^2$

$h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота равна высоте конуса ($h$).

3. Найдем площадь этого треугольника ($S_{сеч}$):

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$S_{сеч} = 15 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $120 \text{ см}^2$.