Номер 14, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 78.

Условие.

9.14. В основании конуса проведена хорда длиной $a$, стягивающая дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$). Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите высоту конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть R – радиус основания конуса, а H – его высота.

Сначала найдем радиус основания конуса. В основании лежит окружность, в которой проведена хорда длиной $a$, стягивающая дугу с градусной мерой $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Боковые стороны этого треугольника равны радиусу R, основание равно $a$, а угол при вершине (центральный угол) равен $\alpha$.

Проведем высоту в этом равнобедренном треугольнике из центра окружности к хорде. Эта высота будет также медианой и биссектрисой. Она разделит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна R, один катет равен половине хорды, то есть $\frac{a}{2}$, а противолежащий этому катету угол равен половине центрального угла, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выражаем радиус R:

$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса H, радиусом его основания R и образующей. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом треугольнике H и R являются катетами, а угол, противолежащий катету H, равен $\beta$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту H:

$H = R \cdot \tan(\beta)$

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для радиуса R:

$H = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{a \tan(\beta)}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$