Номер 8, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 77.

Условие.

9.8. Образующая конуса равна $a$, а угол в его осевом сечении при вершине конуса равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $l$ — образующая конуса, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса. По условию задачи, образующая $l = a$, а угол при вершине в осевом сечении равен $\alpha$.

1) осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса ($a$), а угол между ними равен $\alpha$. Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона}_1 \cdot \text{сторона}_2 \cdot \sin(\text{угол между ними})$

Применительно к нашему сечению:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$

2) боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Мы знаем, что $l = a$. Чтобы найти радиус основания $r$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом $r$ и образующей $l=a$. Этот треугольник является половиной осевого сечения. Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике равен половине угла осевого сечения, то есть $\frac{\alpha}{2}$.

Радиус $r$ является катетом, противолежащим углу $\frac{\alpha}{2}$, а образующая $a$ — гипотенузой. Из определения синуса:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{a}$

Отсюда выражаем радиус:

$r = a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (a \sin(\frac{\alpha}{2})) \cdot a = \pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $\pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})$