Номер 5, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 77.

Условие.

9.5. Радиус основания конуса равен $9 \text{ см}$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите площадь:

1) боковой поверхности конуса;

2) осевого сечения конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи дано: радиус основания конуса $r = 9$ см, угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($l$), основанием — диаметр основания конуса ($d=2r$), а высотой — высота конуса ($h$). Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, в котором угол между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом) равен $\alpha = 30^\circ$.

1) боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Нам необходимо найти длину образующей $l$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета ($r$) к гипотенузе ($l$):

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Отсюда выразим $l$:

$l = \frac{r}{\cos(\alpha)} = \frac{9}{\cos(30^\circ)}$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$l = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см².

2) осевого сечения конуса

Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника) вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot h = \frac{1}{2} (2r) \cdot h = r \cdot h$. Нам необходимо найти высоту конуса $h$.

В том же прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($r$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$

Отсюда выразим $h$:

$h = r \cdot \tan(\alpha) = 9 \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$h = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь осевого сечения:

$S_{сеч} = r \cdot h = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Ответ: $27\sqrt{3}$ см².