Номер 7, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 77.

Условие.

7. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности конуса?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) — это площадь его изогнутой поверхности без учета площади основания. Для ее вычисления используется формула, которая связывает радиус основания конуса и длину его образующей.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности конуса имеет следующий вид:

$S_{бок} = \pi r l$

В этой формуле используются следующие обозначения:

$r$ – это радиус окружности, лежащей в основании конуса;

$l$ – это длина образующей конуса, то есть расстояние от вершины конуса до любой точки на окружности его основания;

$\pi$ – это математическая константа, число пи, приблизительно равное $3.14159$.

Эта формула выводится из развертки боковой поверхности конуса, которая представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($l$), а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса ($C = 2 \pi r$). Площадь такого сектора и, следовательно, боковой поверхности конуса, равна половине произведения длины дуги на радиус сектора: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (2 \pi r) \cdot l = \pi r l$.

В случаях, когда длина образующей ($l$) неизвестна, но известны высота конуса ($h$) и радиус основания ($r$), образующую можно найти по теореме Пифагора, поскольку высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник:

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Тогда формулу для площади боковой поверхности можно записать через высоту и радиус:

$S_{бок} = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей конуса.