Номер 33, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 33, страница 74.

Условие.

8.33. Основанием пирамиды является ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Высота пирамиды, равная 16 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$, а ее вершиной — точка $S$. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей ромба $O$. Это означает, что все боковые грани пирамиды являются равными треугольниками, а сама пирамида — правильная.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем сторону ромба ($a$).
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них, например, $\triangle AOB$, где $A$ и $B$ — вершины ромба.

Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей: $AO = \frac{d_1}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.
$BO = \frac{d_2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Гипотенуза $AB$ является стороной ромба. По теореме Пифагора: $a^2 = AB^2 = AO^2 + BO^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$.
$a = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем периметр основания ($P_{осн}$).
Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 25 = 100$ см.

3. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).
Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Пусть $SK$ — апофема, проведенная к стороне $AB$ ($K$ — точка на $AB$). Тогда $OK$ — это перпендикуляр, опущенный из центра ромба на сторону $AB$. $OK$ также является радиусом вписанной в ромб окружности.

Длину $OK$ можно найти из площади треугольника $AOB$. Площадь прямоугольного треугольника $AOB$ равна: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150$ см².

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через гипотенузу $AB$ и высоту $OK$, проведенную к ней: $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK$.

Отсюда $OK = \frac{2 \cdot S_{\triangle AOB}}{AB} = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. Его катеты — это высота пирамиды $SO=16$ см и отрезок $OK=12$ см. Гипотенуза $SK$ — это искомая апофема $h_a$. По теореме Пифагора: $h_a^2 = SK^2 = SO^2 + OK^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$.
$h_a = \sqrt{400} = 20$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.
Подставим найденные значения в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 20 = 1000$ см².

Ответ: 1000 см².