Номер 30, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 73.

Условие.

8.30. В правильную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ по образующим $EE_1$ и $FF_1$ соответственно. Четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Найдите площадь этого квадрата, если радиус основания цилиндра равен $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, её основание $ABCD$ является квадратом. В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра. Пусть центр этой окружности — точка $O$, а её радиус равен $R$.

Цилиндр касается боковой грани $AA_1B_1B$ по образующей $EE_1$. Это означает, что точка $E$ в плоскости основания $ABCD$ является точкой касания вписанной окружности и стороны квадрата $AB$. Аналогично, точка $F$ является точкой касания окружности и стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OEF$ в плоскости основания. $OE$ и $OF$ — это радиусы, проведённые в точки касания, поэтому они перпендикулярны соответствующим сторонам квадрата: $OE \perp AB$ и $OF \perp BC$. Длины этих радиусов равны $R$, то есть $OE = OF = R$.

Поскольку стороны квадрата $AB$ и $BC$ перпендикулярны ($AB \perp BC$), то и перпендикуляры к ним, проведённые из одной точки $O$, также будут перпендикулярны. Таким образом, угол $\angle EOF = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $\triangle OEF$ является прямоугольным и равнобедренным. Мы можем найти длину стороны $EF$ по теореме Пифагора:
$EF^2 = OE^2 + OF^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$.
Отсюда $EF = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Четырёхугольник $EE_1F_1F$ образован двумя образующими цилиндра $EE_1$ и $FF_1$ и отрезками $EF$ и $E_1F_1$. Так как образующие цилиндра перпендикулярны его основанию, то $EE_1 \perp EF$. Это означает, что $EE_1F_1F$ — прямоугольник.

По условию задачи, четырёхугольник $EE_1F_1F$ является квадратом. Это значит, что его смежные стороны равны: $EE_1 = EF$.

Площадь этого квадрата $S_{EE_1F_1F}$ равна квадрату его стороны:
$S_{EE_1F_1F} = EF^2$.
Как мы уже вычислили, $EF^2 = 2R^2$.

Ответ: $2R^2$.