Номер 26, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 73.

Условие.

8.26. Основание призмы – равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами. Диагональ грани, проходящей через основание треугольника, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2 \pi r H$, где $r$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота $H$ совпадает с высотой призмы, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (равнобедренный треугольник). Следовательно, $r$ – это радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с равными сторонами $AB=BC$, углом между ними $\angle ABC = \alpha$ и основанием $AC = a$.Диагональ грани, проходящей через основание треугольника $AC$, образует с плоскостью основания призмы прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза – это данная диагональ $d$, один катет – высота призмы $H$, а другой катет – основание треугольника $a$. Угол между диагональю $d$ и основанием $a$ равен $\beta$.

Из этого прямоугольного треугольника находим высоту призмы $H$ и сторону основания $a$:
$H = d \sin(\beta)$
$a = d \cos(\beta)$

Теперь найдем радиус $r$ окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$. Углы при основании этого треугольника равны $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Радиус вписанной окружности $r$ можно найти через половину основания $a/2$ и половину угла при основании. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным в точку касания на основании $AC$, половиной основания $a/2$ и отрезком биссектрисы угла $\angle BAC$. Угол при вершине $A$ в этом малом треугольнике равен $\frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \alpha/2}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Тогда для радиуса $r$ справедливо соотношение:
$\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{r}{a/2}$
Отсюда выражаем радиус:
$r = \frac{a}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$
Подставим найденное ранее выражение для $a$:
$r = \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, подставив выражения для $H$ и $r$ в исходную формулу:
$S_{бок} = 2 \pi r H = 2 \pi \left( \frac{d \cos(\beta)}{2} \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \right) (d \sin(\beta))$
$S_{бок} = \pi d^2 \sin(\beta) \cos(\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2 \sin(\beta) \cos(\beta)$, получаем окончательное выражение:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2} \pi d^2 \sin(2\beta) \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$