Номер 24, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 73.

Условие.

8.24. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна $h$, а площадь боковой поверхности – $S$. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину его катетов как $a$, тогда по теореме Пифагора гипотенуза $c$ будет равна $c = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S$ находится по формуле $S = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Периметр основания $P$ равен сумме длин его сторон:$P = a + a + c = 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$.

Из формулы для площади боковой поверхности мы можем выразить периметр основания:$P = \frac{S}{h}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для периметра, чтобы найти длину катета $a$:$a(2 + \sqrt{2}) = \frac{S}{h}$.Отсюда $a = \frac{S}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Найдем длину гипотенузы $c$:$c = a\sqrt{2} = \frac{S\sqrt{2}}{h(2 + \sqrt{2})}$.

Радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен радиусу $R$ окружности, описанной около треугольника в основании призмы. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.$R = \frac{c}{2}$.

Подставим в эту формулу выражение для $c$:$R = \frac{1}{2} \cdot \frac{S\sqrt{2}}{h(2 + \sqrt{2})} = \frac{S\sqrt{2}}{2h(2 + \sqrt{2})}$.

Упростим полученное выражение. В знаменателе вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:$R = \frac{S\sqrt{2}}{2h\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}$.

Сократим дробь на $\sqrt{2}$:$R = \frac{S}{2h(\sqrt{2} + 1)}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:$R = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h(2 - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$.

Ответ: $\frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2h}$