Номер 21, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 73.

Условие.

8.21. Найдите отношение площади осевого сечения цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, к площади осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма. Обозначим сторону её основания как $a$, а высоту как $H$. Оба цилиндра, вписанный и описанный, будут иметь такую же высоту $H$.

Осевое сечение любого цилиндра представляет собой прямоугольник, площадь которого равна произведению диаметра основания цилиндра на его высоту.

1. Цилиндр, описанный около призмы

Основание описанного цилиндра — это окружность, описанная около основания призмы, то есть около правильного треугольника со стороной $a$. Радиус $R$ такой окружности находится по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Диаметр основания этого цилиндра $D_{опис} = 2R = \frac{2a}{\sqrt{3}}$. Площадь осевого сечения описанного цилиндра $S_{опис}$ равна: $S_{опис} = D_{опис} \cdot H = \frac{2a}{\sqrt{3}} H$.

2. Цилиндр, вписанный в призму

Основание вписанного цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы. Радиус $r$ такой окружности находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Диаметр основания этого цилиндра $D_{впис} = 2r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Площадь осевого сечения вписанного цилиндра $S_{впис}$ равна: $S_{впис} = D_{впис} \cdot H = \frac{a}{\sqrt{3}} H$.

3. Нахождение отношения площадей

Теперь найдем отношение площади осевого сечения описанного цилиндра к площади осевого сечения вписанного цилиндра: $\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}} H}{\frac{a}{\sqrt{3}} H}$.

Сократив общие множители ($a, H, \sqrt{3}$) в числителе и знаменателе, получим: $\frac{S_{опис}}{S_{впис}} = 2$.

Заметим, что для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности ($R=2r$). Отсюда следует, что и диаметр описанного цилиндра в два раза больше диаметра вписанного ($D_{опис} = 2D_{впис}$). Так как высоты цилиндров равны, отношение площадей их осевых сечений будет равно отношению их диаметров, то есть 2.

Ответ: 2.