Номер 15, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 72.

Условие.

8.15. Высота основания правильной треугольной призмы равна 9 см, а боковое ребро призмы – 4 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, площадь которого $S$ равна произведению его высоты $H_ц$ на диаметр его основания $D_ц$. Таким образом, $S = D_ц \cdot H_ц$.

Поскольку цилиндр описан около правильной треугольной призмы, их высоты равны. Высота призмы равна ее боковому ребру, следовательно, высота цилиндра $H_ц = 4$ см.

Основание цилиндра — это окружность, описанная около основания призмы, которым является правильный (равносторонний) треугольник. Следовательно, диаметр основания цилиндра $D_ц$ равен диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника, связан с высотой этого треугольника $h$ формулой $R = \frac{2}{3}h$. В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности как раз и является большей частью высоты (медианы).

По условию задачи, высота основания призмы $h = 9$ см. Вычислим радиус описанной окружности:$R = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

Теперь найдем диаметр основания цилиндра:$D_ц = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Зная диаметр и высоту, вычислим площадь осевого сечения цилиндра:$S = D_ц \cdot H_ц = 12 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48$ см².