Номер 10, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 72.

Условие.

8.10. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, ребро которого равно $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания. Для нахождения этих величин необходимо определить высоту $H$ и радиус основания $R$ цилиндра.

Поскольку цилиндр описан около куба с ребром $a$, его высота равна высоте (ребру) куба.
$H = a$

Основание цилиндра представляет собой круг, описанный около основания куба (квадрата со стороной $a$). Диаметр этого круга $D$ равен диагонали квадрата $d$.
Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Диаметр основания цилиндра равен диагонали квадрата: $D = d = a\sqrt{2}$.
Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь одного основания:
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$
Площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \pi a^2\sqrt{2}$

Площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi a^2\sqrt{2} + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{2} = \pi a^2\sqrt{2} + \pi a^2$
Вынесем общий множитель $\pi a^2$ за скобки:
$S_{полн} = \pi a^2(\sqrt{2} + 1)$

Ответ: $\pi a^2(1 + \sqrt{2})$