Номер 6, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 71.

Условие.

8.6. Можно ли вписать цилиндр в прямую призму, основанием которой является ромб?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Цилиндр можно вписать в прямую призму тогда и только тогда, когда в её основание можно вписать окружность. В этом случае основаниями цилиндра служат окружности, вписанные в основания призмы, а его высота равна высоте призмы. Боковая поверхность цилиндра будет касаться всех боковых граней призмы.

Следовательно, задача сводится к вопросу: можно ли вписать окружность в ромб? Окружность можно вписать в выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. У ромба все стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Проверим выполнение этого условия для ромба:

$a + a = a + a$

$2a = 2a$

Данное равенство является тождеством, то есть оно выполняется для любого ромба. Это означает, что в любой ромб можно вписать окружность. Центром вписанной окружности является точка пересечения диагоналей ромба. Так как в основание призмы — ромб — можно вписать окружность, то и в прямую призму с таким основанием можно вписать цилиндр.

Ответ: Да, можно.