Номер 11, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 72.

Условие.

8.11. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его высота – 12 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, имеет высоту, равную высоте параллелепипеда, а его основанием является окружность, описанная около основания параллелепипеда (прямоугольника).

1. Найдём высоту цилиндра.
Высота цилиндра $h$ равна высоте параллелепипеда. По условию, высота параллелепипеда равна 12 см.
$h = 12$ см.

2. Найдём радиус основания цилиндра.
Основанием цилиндра является окружность, описанная около прямоугольника, который служит основанием параллелепипеда. Диаметр этой окружности равен диагонали прямоугольника.
Стороны прямоугольника в основании равны $a = 6$ см и $b = 8$ см.
Найдем диагональ $d$ этого прямоугольника по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.
Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Найдём площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)$.
Подставим найденные значения $h = 12$ см и $R = 5$ см:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 5(12 + 5) = 10\pi \cdot 17 = 170\pi$ см².

Ответ: $170\pi$ см².