Номер 17, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 72.

Условие.

8.17. Ребро куба равно $a$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в данный куб.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, ребро куба равно $a$. Цилиндр вписан в этот куб.

Если цилиндр вписан в куб, то его высота $h$ равна ребру куба, а диаметр его основания $d$ также равен ребру куба.

Следовательно, высота цилиндра:
$h = a$.

Диаметр основания цилиндра:
$d = a$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей оснований $S_{осн}$:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Подставим наше значение радиуса:
$S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$. Подставим наши значения радиуса и высоты:
$S_{бок} = 2 \pi \left(\frac{a}{2}\right) a = \pi a^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра:
$S_{полн} = \pi a^2 + 2 \cdot \left(\frac{\pi a^2}{4}\right) = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{2\pi a^2 + \pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}\pi a^2$.