Номер 22, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 73.

Условие.

8.22. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим углом $\alpha$. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу основания, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть основанием призмы является прямоугольный треугольник. Обозначим его гипотенузу как $c$. По условию, катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем соотношение:
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$
Из этого соотношения выразим гипотенузу:
$c = \frac{a}{\sin \alpha}$

Поскольку цилиндр описан около призмы, его основанием является окружность, описанная около треугольника в основании призмы. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h$. Рассмотрим боковую грань призмы, которая содержит гипотенузу $c$. Предполагая, что призма прямая, эта грань является прямоугольником. Диагональ этой грани, гипотенуза $c$ (которая является проекцией диагонали на плоскость основания) и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и ее проекцией (гипотенузой) по условию равен $\beta$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а гипотенуза $c$ — прилежащим катетом. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$\tan \beta = \frac{h}{c}$
Отсюда находим высоту призмы, которая равна высоте цилиндра:
$H = h = c \cdot \tan \beta = \frac{a}{\sin \alpha} \cdot \tan \beta$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$. Подставим в эту формулу найденные выражения для радиуса $R$ и высоты $H$:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot \left( \frac{a}{2 \sin \alpha} \right) \cdot \left( \frac{a \tan \beta}{\sin \alpha} \right)$
После упрощения получаем:
$S_{бок} = \frac{2 \pi a^2 \tan \beta}{2 \sin^2 \alpha} = \frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin^2 \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan \beta}{\sin^2 \alpha}$