Номер 29, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 73.

Условие.

8.29. В правильную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вписан цилиндр, касающийся боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ по образующим $MM_1$ и $KK_1$ соответственно. Диагональ осевого сечения этого цилиндра равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь четырёхугольника $MM_1K_1K$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $h$ - высота цилиндра, а $r$ - радиус его основания. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$ (высота). Диагональ этого прямоугольника равна $d$ и образует с плоскостью основания (то есть со стороной $2r$) угол $\alpha$.

Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой и диаметром цилиндра, находим:
Высота цилиндра: $h = d \sin(\alpha)$.
Диаметр цилиндра: $2r = d \cos(\alpha)$, откуда радиус $r = \frac{d \cos(\alpha)}{2}$.

Четырехугольник $MM_1K_1K$ является прямоугольником, так как образующие $MM_1$ и $KK_1$ перпендикулярны плоскости основания, в которой лежит отрезок $MK$. Следовательно, $MM_1 \perp MK$ и $KK_1 \perp MK$. Также $MM_1 \parallel KK_1$ и $MM_1 = KK_1 = h$.
Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{MM_1K_1K} = MK \cdot MM_1$.
Мы уже знаем, что $MM_1 = h = d \sin(\alpha)$. Осталось найти длину отрезка $MK$.

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Вписанный цилиндр касается боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ по образующим $MM_1$ и $KK_1$. Это означает, что в основании призмы окружность (сечение цилиндра) с радиусом $r$ касается сторон шестиугольника $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Пусть $O_ц$ - центр окружности в основании. Так как окружность касается сторон $AB$ и $BC$, ее центр $O_ц$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, т.е. $O_цM \perp AB$ и $O_цK \perp BC$.
Рассмотрим четырехугольник $BMO_цK$. Сумма его углов равна $360^\circ$. Мы знаем углы: $\angle ABC = 120^\circ$, $\angle BMO_ц = 90^\circ$, $\angle BKO_ц = 90^\circ$.
Отсюда находим угол $\angle MO_цK = 360^\circ - 120^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MO_цK$. Он является равнобедренным, так как $O_цM = O_цK = r$. Угол при вершине $O_ц$ равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним.
Следовательно, $MK = O_цM = O_цK = r$.
Подставляем найденное значение радиуса: $MK = r = \frac{d \cos(\alpha)}{2}$.

Теперь мы можем найти площадь искомого четырехугольника:
$S_{MM_1K_1K} = MK \cdot MM_1 = \left(\frac{d \cos(\alpha)}{2}\right) \cdot (d \sin(\alpha)) = \frac{d^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2}$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим:
$S_{MM_1K_1K} = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{d^2 \sin(2\alpha)}{4}$.

Ответ: $\frac{d^2 \sin(2\alpha)}{4}$.