Номер 28, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 73.

Условие.

8.28. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P = 6a$.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы $S_{призмы}$ равна:
$S_{призмы} = P \cdot h = 6ah$

По условию задачи, эта площадь равна $S$, то есть:
$S = 6ah$

Цилиндр вписан в призму. Это означает, что высота цилиндра равна высоте призмы $h$, а окружность основания цилиндра вписана в правильный шестиугольник, который является основанием призмы.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника. Апофему можно найти как высоту равностороннего треугольника со стороной $a$, из которых состоит правильный шестиугольник.
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле:
$S_{цил} = 2\pi rh$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $r$:
$S_{цил} = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)h = \pi a h \sqrt{3}$

Теперь выразим $S_{цил}$ через известную площадь $S$. Из формулы для площади боковой поверхности призмы $S = 6ah$ выразим произведение $ah$:
$ah = \frac{S}{6}$

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{цил} = \pi \left(\frac{S}{6}\right)\sqrt{3} = \frac{\pi S\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\pi S\sqrt{3}}{6}$