Номер 31, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 74.

Условие.

8.31. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов большей боковой стороны на 1 см и 2 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$, а $CD$ — большая боковая сторона. Пусть $O$ — центр вписанной окружности.

По условию, расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны равны 1 см и 2 см. То есть, $OD = 1$ см и $OC = 2$ см.

1. Рассмотрим треугольник $COD$

Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. Следовательно, $CO$ является биссектрисой угла $BCD$, а $DO$ — биссектрисой угла $ADC$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.

Так как $CO$ и $DO$ — биссектрисы, то $\angle OCD = \frac{1}{2}\angle BCD$ и $\angle ODC = \frac{1}{2}\angle ADC$.

Сумма углов в треугольнике $COD$ равна $180^\circ$. Найдем сумму двух его углов:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Отсюда следует, что третий угол треугольника $COD$ равен:

$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $COD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

2. Найдем длину боковой стороны $CD$

Поскольку треугольник $COD$ прямоугольный, мы можем применить к нему теорему Пифагора. Гипотенузой является сторона $CD$.

$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$CD = \sqrt{5}$ см.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$

Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из сторон трапеции. В частности, он равен высоте, опущенной из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $CD$ в треугольнике $COD$.

Площадь прямоугольного треугольника $COD$ можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см².

С другой стороны, $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot r$

$r = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см.

4. Найдем площадь трапеции

Для прямоугольной трапеции высота $h$ равна меньшей боковой стороне $AB$. Также высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

$h = AB = 2r = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ см.

Свойство описанного четырехугольника (трапеции) гласит, что суммы длин противоположных сторон равны:

$AD + BC = AB + CD$

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Подставим известные нам соотношения:

$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AB = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}$

Упростим выражение в числителе дроби:

$\frac{4}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{4 + (\sqrt{5})^2}{\sqrt{5}} = \frac{4+5}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$

Теперь подставим это обратно в формулу площади:

$S = \frac{\frac{9}{\sqrt{5}}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{9}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{36}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3.6$ см².

Ответ: 3,6 см².