Номер 27, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 73.

Условие.

8.27. Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с углом $\alpha$, равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть призма является прямой, ее высота равна $H$, а сторона ромба в основании равна $a$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S$ вычисляется как произведение периметра основания $P$ на высоту призмы $H$:$S = P \cdot H$.

Основанием призмы является ромб со стороной $a$. Его периметр равен $P = 4a$.Следовательно, площадь боковой поверхности призмы:$S = 4aH$.

Из этого соотношения мы можем выразить произведение $aH$:$aH = \frac{S}{4}$.

Цилиндр вписан в призму. Это означает, что основаниями цилиндра являются окружности, вписанные в ромбы (основания призмы), а высота цилиндра равна высоте призмы $H$.Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок. цил.}$ вычисляется по формуле:$S_{бок. цил.} = 2\pi r H$,где $r$ — радиус основания цилиндра.

Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, связан с высотой ромба $h_{ромба}$. Диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, то есть $2r = h_{ромба}$.Высоту ромба можно найти через его сторону $a$ и угол $\alpha$ между сторонами. Площадь ромба $A_{ромба}$ можно выразить двумя способами:1. Через сторону и высоту: $A_{ромба} = a \cdot h_{ромба} = a \cdot (2r)$.2. Через сторону и угол: $A_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:$a \cdot (2r) = a^2 \sin(\alpha)$.

Разделив обе части уравнения на $2a$ (так как $a \ne 0$), выразим радиус $r$:$r = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Теперь подставим найденное выражение для радиуса в формулу площади боковой поверхности цилиндра:$S_{бок. цил.} = 2\pi r H = 2\pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right) H = \pi a H \sin(\alpha)$.

Ранее мы установили, что $aH = \frac{S}{4}$. Подставим это значение в полученную формулу:$S_{бок. цил.} = \pi \left(\frac{S}{4}\right) \sin(\alpha) = \frac{\pi S \sin(\alpha)}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi S \sin(\alpha)}{4}$