Номер 20, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 72.

Условие.

8.20. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, к площади боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы, а $H$ — высота призмы. Высота как описанного, так и вписанного цилиндров будет равна высоте призмы $H$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

1. Цилиндр, описанный около правильной шестиугольной призмы.

Основанием этого цилиндра является окружность, описанная около правильного шестиугольника. Радиус $R_1$ окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен этой стороне:$R_1 = a$

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра ($S_1$) равна:$S_1 = 2\pi R_1 H = 2\pi a H$

2. Цилиндр, вписанный в правильную шестиугольную призму.

Основанием этого цилиндра является окружность, вписанная в правильный шестиугольник. Радиус $R_2$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме шестиугольника:$R_2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра ($S_2$) равна:$S_2 = 2\pi R_2 H = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) H = \pi a \sqrt{3} H$

3. Нахождение отношения площадей.

Найдем отношение площади боковой поверхности описанного цилиндра к площади боковой поверхности вписанного цилиндра:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2\pi a H}{\pi a \sqrt{3} H}$

Сократив общие множители $\pi$, $a$ и $H$, получим:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.