Номер 19, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 72.

Условие.

8.19. В призму, основанием которой является ромб со стороной $10\sqrt{2}$ см и углом $45^{\circ}$, вписан цилиндр. Найдите площадь осевого сечения этого цилиндра, если высота призмы равна 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, в прямую призму, основанием которой является ромб, вписан цилиндр. Это означает, что высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{призмы}$, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

Высота призмы дана и составляет $H_{призмы} = 4$ см. Следовательно, высота цилиндра также равна 4 см: $H_{цил} = H_{призмы} = 4$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра $d_{цил}$ и его высоте $H_{цил}$. Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = d_{цил} \cdot H_{цил}$

Чтобы найти площадь, нам нужно определить диаметр основания цилиндра. Поскольку окружность основания цилиндра вписана в ромб, её диаметр равен высоте ромба $h_{ромба}$.

Высоту ромба можно найти, используя формулу площади ромба. Площадь ромба через сторону $a$ и угол $\alpha$ между сторонами равна $S_{ромба} = a^2 \sin{\alpha}$. Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S_{ромба} = a \cdot h_{ромба}$.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $a \cdot h_{ромба} = a^2 \sin{\alpha}$ Отсюда высота ромба: $h_{ромба} = a \sin{\alpha}$

По условию, сторона ромба $a = 10\sqrt{2}$ см, а угол $\alpha = 45^{\circ}$. Подставим эти значения: $h_{ромба} = 10\sqrt{2} \cdot \sin{45^{\circ}}$

Зная, что $\sin{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, вычисляем высоту: $h_{ромба} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$ см.

Диаметр основания вписанного цилиндра равен высоте ромба: $d_{цил} = h_{ромба} = 10$ см.

Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра: $S_{сеч} = d_{цил} \cdot H_{цил} = 10 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: $40 \text{ см}^2$.