Номер 14, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 72.

Условие.

8.14. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а диагональ боковой грани образует с боковым ребром призмы угол $\alpha$.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана правильная шестиугольная призма, сторона основания которой равна $a$, а высота (боковое ребро) равна $h$.

Боковая грань призмы представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани, боковое ребро ($h$) и сторона основания ($a$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $a$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, который диагональ образует с боковым ребром (катетом $h$).

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{h}$

Отсюда можем выразить высоту призмы $h$:

$h = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha)$

Цилиндр описан около призмы. Это означает, что основания призмы (правильные шестиугольники) вписаны в основания цилиндра (круги). Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Таким образом:

$R = a$

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h$:

$H = h = a \cot(\alpha)$

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, стороны которого равны диаметру основания цилиндра $D$ и его высоте $H$.

Диаметр основания цилиндра:

$D = 2R = 2a$

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{сеч} = D \cdot H = (2a) \cdot (a \cot(\alpha)) = 2a^2 \cot(\alpha)$

Ответ: $2a^2 \cot(\alpha)$