Номер 8, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 72.

Условие.

8.8. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна меньшему основанию. Можно ли вписать цилиндр в эту призму?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание можно было вписать окружность.

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Обозначим длины ее оснований как $a$ и $b$ (где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее), а длину равных боковых сторон — как $c$.

Критерием возможности вписать окружность в выпуклый четырехугольник является равенство сумм длин его противоположных сторон. Для нашей трапеции это условие выглядит так:

$a + b = c + c = 2c$

По условию задачи, боковая сторона трапеции равна меньшему основанию:

$c = b$

Чтобы в заданную трапецию можно было вписать окружность, оба условия должны выполняться одновременно. Подставим условие из задачи ($c=b$) в критерий для вписанной окружности:

$a + b = 2b$

Из этого уравнения следует, что $a = b$.

Полученное равенство $a=b$ противоречит определению трапеции, у которой основания должны иметь разную длину. Если основания равны, то фигура является параллелограммом, а не трапецией. (В данном случае, с учетом условий $c=b$ и $a=b$, это был бы ромб).

Таким образом, не существует трапеции, которая бы удовлетворяла условиям задачи и в которую можно было бы вписать окружность. Следовательно, вписать цилиндр в такую призму невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.