Номер 5, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 71.

Условие.

8.5. Основанием прямой призмы является четырёхугольник $ABCD$, у которого $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 123^\circ$, $\angle C = 144^\circ$, $\angle D = 57^\circ$. Можно ли описать цилиндр около этой призмы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы можно было описать цилиндр около прямой призмы, необходимо и достаточно, чтобы около основания этой призмы можно было описать окружность. В этом случае основания призмы будут вписаны в окружности оснований цилиндра.

Основанием данной призмы является четырехугольник $ABCD$. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Проверим, выполняется ли это свойство для четырехугольника $ABCD$.

По условию задачи даны углы четырехугольника: $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 123^\circ$, $\angle C = 144^\circ$, $\angle D = 57^\circ$.

Найдем сумму первой пары противолежащих углов $A$ и $C$:

$\angle A + \angle C = 36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$

Найдем сумму второй пары противолежащих углов $B$ и $D$:

$\angle B + \angle D = 123^\circ + 57^\circ = 180^\circ$

Поскольку суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. А раз призма прямая и около ее основания можно описать окружность, то и около всей призмы можно описать цилиндр.

Ответ: Да, можно.