Номер 2, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 71.

Условие.

8.2. Можно ли описать цилиндр около прямой призмы, основанием которой является ромб, отличный от квадрата?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы около прямой призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы около основания этой призмы можно было описать окружность. Все вершины основания призмы должны лежать на окружности, которая является основанием цилиндра.

В данной задаче основанием призмы является ромб, который не является квадратом. Следовательно, вопрос сводится к тому, можно ли описать окружность около ромба, отличного от квадрата.

Докажем, что это невозможно, двумя способами.

Способ 1. Через свойство углов вписанного четырехугольника.

Известно, что четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть противолежащие углы ромба равны $\alpha$ и $\alpha$. Для того чтобы ромб можно было вписать в окружность, должно выполняться равенство $\alpha + \alpha = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $2\alpha = 180^\circ$, то есть $\alpha = 90^\circ$.

Если один угол ромба прямой, то и все его углы прямые. Такой ромб является квадратом. Однако по условию задачи ромб не является квадратом. Значит, его углы не равны $90^\circ$, и условие вписывания в окружность не выполняется.

Способ 2. Через свойство диагоналей.

Если около многоугольника можно описать окружность, то все его вершины равноудалены от центра этой окружности. Центр окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

В ромбе диагонали являются его осями симметрии и пересекаются под прямым углом. Точка пересечения диагоналей — единственный возможный центр для описанной окружности, так как только эта точка равноудалена от пар противолежащих вершин.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Тогда расстояния от точки их пересечения до вершин равны соответственно $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Для того чтобы все вершины были равноудалены от этой точки (и лежали на одной окружности), необходимо выполнение условия: $\frac{d_1}{2} = \frac{d_2}{2}$, что эквивалентно $d_1 = d_2$.

Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. По условию, ромб не квадрат, следовательно, его диагонали не равны ($d_1 \neq d_2$). Таким образом, не существует точки, равноудаленной от всех четырех вершин ромба.

Поскольку около ромба, который не является квадратом, нельзя описать окружность, то и описать цилиндр около прямой призмы с таким основанием невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.