Номер 7, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 71.

Условие.

8.7. Можно ли вписать цилиндр в прямую призму, основанием которой является прямоугольник, отличный от квадрата?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы цилиндр был вписан в прямую призму, его боковая поверхность должна касаться всех боковых граней призмы, а его основания должны лежать в плоскостях оснований призмы и касаться их.

Рассмотрим проекцию призмы и вписанного в нее цилиндра на плоскость основания. Проекцией прямой призмы является ее основание — прямоугольник. Проекцией цилиндра является его основание — круг. Условие касания боковых поверхностей означает, что основание цилиндра (круг) должно быть вписано в основание призмы (прямоугольник).

Пусть основанием призмы является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. По условию задачи, этот прямоугольник не является квадратом, следовательно, $a \neq b$.

Для того чтобы круг был вписан в прямоугольник, он должен касаться всех четырех его сторон. Пусть радиус этого круга равен $r$.

Расстояние между двумя параллельными сторонами прямоугольника длиной $b$ равно $a$. Чтобы круг касался этих сторон, его диаметр $2r$ должен быть равен этому расстоянию. Таким образом, получаем первое условие: $2r = a$.

Расстояние между двумя другими параллельными сторонами прямоугольника длиной $a$ равно $b$. Чтобы круг касался и этих сторон, его диаметр $2r$ должен быть также равен этому расстоянию. Получаем второе условие: $2r = b$.

Из этих двух условий следует, что для возможности вписать круг в прямоугольник должно выполняться равенство $a = b$. Однако это противоречит условию задачи, согласно которому $a \neq b$.

Следовательно, в прямоугольник, который не является квадратом, невозможно вписать круг. А это означает, что и в прямую призму с таким основанием нельзя вписать цилиндр.

Ответ: нет, нельзя.