Номер 1, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 71.

Условие.

8.1. Можно ли описать цилиндр около прямой призмы, основанием которой является прямоугольник?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Да, можно.

Цилиндр можно описать около прямой призмы в том и только в том случае, если около основания призмы можно описать окружность. Если это условие выполняется, то основания призмы вписываются в основания цилиндра, а высота цилиндра совпадает с высотой призмы.

В данном случае основанием прямой призмы является прямоугольник. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Это следует из свойства вписанного четырехугольника: четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы равны $90^\circ$, поэтому сумма любых двух противоположных углов составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому эта точка равноудалена от всех четырех вершин. Радиус $R$ этой окружности равен половине диагонали $d$. Если стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, то $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Так как около основания призмы — прямоугольника — можно описать окружность, то и около всей прямой призмы с таким основанием можно описать цилиндр. Все вершины призмы будут лежать на окружностях оснований этого цилиндра.

Ответ: Да, можно.