Номер 38, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 38, страница 68.

Условие.

7.38. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 6 см, а площадь боковой поверхности – 288 $см^2$. Найдите большую диагональ призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Периметр этого шестиугольника равен: $P_{осн} = 6a = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Используя данные о площади боковой поверхности ($S_{бок} = 288$ см²), найдем высоту призмы $h$: $h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{288}{36} = 8$ см.

Большая диагональ призмы ($D$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота призмы ($h$) и большая диагональ основания ($d_{больш}$).

Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны: $d_{больш} = 2a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем большую диагональ призмы: $D^2 = h^2 + (d_{больш})^2$

Подставим найденные значения высоты и диагонали основания: $D^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$

$D = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{13}$ см.