Номер 35, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 35, страница 68.

Условие.

7.35. Радиус основания цилиндра равен 8 см. Две вершины квадрата со стороной 12 см принадлежат окружности одного основания цилиндра, а две – окружности другого основания. Найдите высоту цилиндра, если плоскость данного квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R = 8$ см, а высота – $H$. Сторона квадрата равна $a = 12$ см.Две вершины квадрата, назовем их $A$ и $B$, лежат на окружности одного основания. Следовательно, отрезок $AB$ является хордой этой окружности, и его длина равна стороне квадрата, то есть $|AB| = 12$ см. Две другие вершины, $C$ и $D$, лежат на окружности другого основания, образуя хорду $CD$ такой же длины, $|CD| = 12$ см.

Найдем расстояние от центра основания до хорды длиной 12 см. Пусть $O_1$ – центр основания, на котором лежат точки $A$ и $B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $O_1A$, половиной хорды $AB$ и отрезком, соединяющим $O_1$ с серединой хорды $AB$. Длина гипотенузы равна радиусу $R=8$ см, а одного из катетов – половине длины хорды, то есть $a/2 = 12/2 = 6$ см. Расстояние от центра до хорды, обозначим его $d$, является вторым катетом. По теореме Пифагора:

$d^2 + (a/2)^2 = R^2$

$d^2 + 6^2 = 8^2$

$d^2 + 36 = 64$

$d^2 = 28$

$d = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Такое же расстояние будет и от центра второго основания до хорды $CD$.

По условию, плоскость квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра. Это означает, что проекции хорд $AB$ и $CD$ на плоскость основания лежат по разные стороны от центра этого основания. Так как $AB$ и $CD$ – противоположные стороны квадрата, они параллельны. Следовательно, их проекции на плоскость основания также параллельны. Расстояние между этими проекциями будет равно сумме расстояний от центра до каждой из них: $d + d = 2d = 2 \times 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см.

Теперь рассмотрим одну из боковых сторон квадрата, например, $BC$. Ее длина равна $a=12$ см. Длину этого отрезка в пространстве можно найти, используя его проекции на три взаимно перпендикулярные оси.

1. Проекция на ось цилиндра (вертикальная составляющая) равна высоте цилиндра $H$.
2. Проекция на плоскость основания в направлении, перпендикулярном хордам, равна расстоянию между проекциями хорд, то есть $2d = 4\sqrt{7}$ см.
3. Проекция на плоскость основания в направлении, параллельном хордам, равна нулю, так как центр квадрата лежит на оси цилиндра (что следует из условия пересечения оси), и, следовательно, квадрат не "сдвинут" в этом направлении.

По теореме Пифагора в пространстве, квадрат длины отрезка $BC$ равен сумме квадратов длин его проекций:

$|BC|^2 = H^2 + (2d)^2$

Подставим известные значения:

$12^2 = H^2 + (4\sqrt{7})^2$

$144 = H^2 + 16 \times 7$

$144 = H^2 + 112$

$H^2 = 144 - 112$

$H^2 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.