Номер 28, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 67.

Условие.

7.28. Концы отрезка $AB$, равного $15$ см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Найдите расстояние между прямой $AB$ и осью цилиндра, если высота цилиндра равна $9$ см, а радиус его основания – $8$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан цилиндр, высота которого $H = 9$ см, а радиус основания $R = 8$ см. Отрезок $AB$ длиной 15 см соединяет точки на окружностях разных оснований. Требуется найти расстояние между прямой $AB$ и осью цилиндра, которые являются скрещивающимися прямыми.

Для решения задачи используем метод проекций. Спроецируем отрезок $AB$ на плоскость одного из оснований (например, нижнего, где лежит точка $A$). Пусть $B'$ — ортогональная проекция точки $B$ на эту плоскость. Тогда отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина равна высоте цилиндра, то есть $BB' = H = 9$ см. Отрезок $AB'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB'$, в котором угол при вершине $B'$ прямой. По теореме Пифагора найдем длину проекции $AB'$:

$(AB')^2 = AB^2 - (BB')^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$AB' = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружностях оснований, то их проекции $A$ и $B'$ лежат на одной окружности нижнего основания. Следовательно, отрезок $AB'$ является хордой этой окружности. Расстояние между скрещивающимися прямой $AB$ и осью цилиндра равно расстоянию от центра основания $O$ до хорды $AB'$.

Найдем это расстояние. В круге основания радиусом $R = 8$ см проведена хорда $AB'$ длиной 12 см. Расстояние от центра круга $O$ до хорды $AB'$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из центра на хорду. В равнобедренном треугольнике $OAB'$ высота $OM$ является также медианой, поэтому точка $M$ — середина хорды $AB'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$. В нем гипотенуза $OA$ равна радиусу ($OA=R=8$ см), а катет $AM$ равен половине длины хорды:

$AM = \frac{1}{2} AB' = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $OMA$ найдем длину катета $OM$, который и является искомым расстоянием:

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - AM^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$

$OM = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.