Номер 22, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 66.

Условие.

7.22. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, удалённое от неё на $\sqrt{3}$ см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 10 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $w$ (ширина) и $h$ (высота). Площадь этого прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = w \cdot h$. Для нахождения площади необходимо найти значения $w$ и $h$.

Сначала найдем ширину сечения $w$. Ширина сечения равна длине хорды, которую плоскость сечения отсекает от окружности основания цилиндра. Рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Пусть $O$ — центр окружности основания, а $AB$ — хорда, длина которой равна ширине сечения $w$. Расстояние от оси цилиндра (точки $O$) до сечения (хорды $AB$) по условию равно $\sqrt{3}$ см. Опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на хорду $AB$. Длина этого перпендикуляра и есть заданное расстояние, то есть $OM = \sqrt{3}$ см.

По условию, сечение отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120°$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, $\angle AOB$, также равен $120°$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB$ как радиусы). Перпендикуляр $OM$, проведенный к основанию $AB$, является также высотой и биссектрисой, поэтому он делит угол $\angle AOB$ пополам:$\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120°}{2} = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. Мы знаем катет $OM = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle OAM = 90° - 60° = 30°$, или прилежащий к нему угол $\angle AOM = 60°$. Найдем длину катета $AM$ (половина хорды $AB$):$AM = OM \cdot \tan(\angle AOM) = \sqrt{3} \cdot \tan(60°)$.Поскольку $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получаем:$AM = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.Тогда ширина сечения $w$ равна длине хорды $AB$:$w = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем высоту сечения $h$. Прямоугольное сечение имеет ширину $w = 6$ см и диагональ $D = 10$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника, квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон:$w^2 + h^2 = D^2$.Подставим известные значения:$6^2 + h^2 = 10^2$$36 + h^2 = 100$$h^2 = 100 - 36$$h^2 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Наконец, вычислим площадь сечения $S$, зная его ширину и высоту:$S = w \cdot h = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.