Номер 16, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 65.

Условие.

7.16. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$, а из центра верхнего основания – под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен $8 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания цилиндра, а $O_2$ — центр верхнего основания. Обозначим хорду в нижнем основании как $AB$. По условию, радиус основания $R = 8$ см.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$, который лежит в плоскости нижнего основания. Стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами, поэтому $O_1A = O_1B = R = 8$ см. Угол, под которым видна хорда из центра этого основания, равен $90^\circ$, то есть $\angle AO_1B = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AO_1B$ — это прямоугольный равнобедренный треугольник.

Найдем длину хорды $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$ $AB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$ $AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Его вершинами являются концы хорды $A$ и $B$ и центр верхнего основания $O_2$. По условию, угол, под которым видна хорда из центра верхнего основания, равен $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$. Треугольник $\triangle AO_2B$ является равнобедренным, так как отрезки $O_2A$ и $O_2B$ равны (расстояния от центра верхнего основания до двух точек на окружности нижнего основания, равноудаленных от оси цилиндра).

Поскольку равнобедренный треугольник $\triangle AO_2B$ имеет угол при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $O_2A = O_2B = AB = 8\sqrt{2}$ см.

3. Для нахождения высоты цилиндра $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1O_2A$. Его катеты — это высота цилиндра $h = O_1O_2$ и радиус основания $R = O_1A$, а гипотенуза — отрезок $O_2A$. Угол $\angle O_2O_1A = 90^\circ$, так как высота цилиндра перпендикулярна его основанию.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1O_2A$: $O_2A^2 = O_1O_2^2 + O_1A^2$ $h^2 = O_2A^2 - R^2$ $h^2 = (8\sqrt{2})^2 - 8^2 = 128 - 64 = 64$ $h = \sqrt{64} = 8$ см.

4. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$. Подставим известные значения $R = 8$ см и $h = 8$ см: $S_{бок} = 2\pi \cdot 8 \cdot 8 = 128\pi$ см².

Ответ: $128\pi$ см².