Номер 23, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 66.

Условие.

7.23. Точки $O$ и $O_1$ – центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка $A$ принадлежит нижнему основанию цилиндра (рис. 7.16). На отрезке $OO_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ пересекает боковую поверхность цилиндра. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра.

Рис. 7.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи по построению точки пересечения прямой с поверхностью используется метод сечений. Идея состоит в том, чтобы найти сечение фигуры плоскостью, в которой лежит данная прямая. Искомая точка пересечения будет лежать на линии пересечения плоскости и поверхности фигуры.

Построение и обоснование

1. Выберем подходящую секущую плоскость. Прямая $AB$ однозначно задается двумя точками $A$ и $B$. Возьмем третью точку, не лежащую на этой прямой, чтобы задать плоскость. Удобно выбрать центр нижнего основания $O$. Таким образом, мы рассматриваем секущую плоскость, проходящую через точки $A, B, O$.
2. Определим, как эта плоскость пересекает цилиндр. Точка $A$ лежит на нижнем основании. Точка $O$ — центр нижнего основания. Точка $B$ лежит на оси цилиндра $OO_1$. Следовательно, вся ось цилиндра $OO_1$ принадлежит нашей секущей плоскости $(ABO)$. Плоскость, проходящая через ось цилиндра, называется осевой плоскостью.
3. Сечением цилиндра осевой плоскостью является прямоугольник. Построим этот прямоугольник.
   • Проведем прямую через точки $A$ и $O$ в плоскости нижнего основания. Эта прямая пересечет окружность нижнего основания в точке $A$ и диаметрально противоположной ей точке. Назовем эту точку $C$. Таким образом, $AC$ — диаметр нижнего основания.
   • Через точки $A$ и $C$ проходят образующие цилиндра, которые перпендикулярны плоскости основания (или параллельны оси $OO_1$). Пусть это будут образующие $AA_1$ и $CC_1$, где $A_1$ и $C_1$ лежат на верхнем основании.
   • Прямоугольник $ACC_1A_1$ — это и есть осевое сечение цилиндра, содержащее прямую $AB$ (поскольку точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости).
4. Теперь задача сводится к планиметрической: в плоскости прямоугольника $ACC_1A_1$ нужно найти точку пересечения прямой $AB$ с отрезком $CC_1$ (поскольку отрезок $CC_1$ является частью боковой поверхности цилиндра).
5. Проводим прямую через точки $A$ и $B$. Продолжаем ее до пересечения с прямой $CC_1$. Точку их пересечения обозначим $M$.

Точка $M$ является искомой точкой пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра, так как она принадлежит прямой $AB$ по построению и принадлежит боковой поверхности цилиндра, поскольку лежит на образующей $CC_1$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $O$ до пересечения с окружностью нижнего основания в точке $C$.
2. В точке $C$ восстановить образующую $CC_1$, параллельную оси $OO_1$.
3. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
4. Точка $M$, являющаяся пересечением прямых $AB$ и $CC_1$, и будет искомой точкой.

Ответ: Искомая точка $M$ строится как пересечение прямой $AB$ с образующей $CC_1$, где $C$ — точка, диаметрально противоположная точке $A$ на нижнем основании цилиндра.