Номер 29, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 29, страница 67.

Условие.

7.29. Точки $O$ и $O_1$ – соответственно центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка $A$ принадлежит окружности нижнего основания цилиндра, а точка $B$ – окружности верхнего основания. Угол между прямыми $OA$ и $O_1B$ равен $60^\circ$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $OO_1$, если диаметр основания цилиндра равен его высоте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем обозначения: пусть $r$ – радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота. Согласно условию, диаметр основания цилиндра равен его высоте, что можно записать как $D = h$, или $h = 2r$.

Нам нужно найти угол $\beta$ между скрещивающимися прямыми $AB$ и $OO_1$. Прямая $OO_1$ является осью цилиндра и перпендикулярна его основаниям.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом параллельного переноса. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $OO_1$. Эта прямая является образующей цилиндра. Пусть она пересекает верхнее основание в точке $A'$. Тогда искомый угол $\beta$ между прямыми $AB$ и $OO_1$ будет равен углу между прямой $AB$ и образующей $AA'$, то есть $\beta = \angle BAA'$.

Рассмотрим треугольник $BAA'$. Поскольку образующая $AA'$ перпендикулярна плоскости верхнего основания, то она перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая отрезок $A'B$. Таким образом, треугольник $BAA'$ – прямоугольный, с прямым углом при вершине $A'$.

В этом треугольнике катет $AA'$ равен высоте цилиндра: $AA' = h = 2r$. Второй катет $A'B$ является хордой в окружности верхнего основания.

Чтобы найти длину хорды $A'B$, воспользуемся условием, что угол между прямыми $OA$ и $O_1B$ равен $60^\circ$. Угол между этими скрещивающимися прямыми определяется как угол между их параллельными образами, проведенными из одной точки. Перенесем прямую $OA$ параллельно самой себе так, чтобы центр нижнего основания $O$ совместился с центром верхнего основания $O_1$. При таком переносе точка $A$ перейдет в точку $A'$ на окружности верхнего основания, а прямая $OA$ – в прямую $O_1A'$.

Следовательно, угол между прямыми $OA$ и $O_1B$ равен углу между радиусами $O_1A'$ и $O_1B$ верхнего основания. Обозначим этот угол $\phi = \angle A'O_1B$. По условию, $\phi = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $A'O_1B$ в верхнем основании. Он является равнобедренным, так как $O_1A' = O_1B = r$ (как радиусы). Угол между этими сторонами равен $\phi = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Отсюда следует, что длина хорды $A'B$ также равна радиусу: $A'B = r$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\beta$ из прямоугольного треугольника $BAA'$. Мы знаем длины обоих катетов: $AA' = 2r$ и $A'B = r$.

Найдем тангенс угла $\beta = \angle BAA'$:

$\tan(\beta) = \frac{A'B}{AA'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.

Угол можно также выразить через косинус. Для этого найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AA'^2 + A'B^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{4r^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.

Тогда косинус угла $\beta$ равен:

$\cos(\beta) = \frac{AA'}{AB} = \frac{2r}{r\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Искомый угол равен $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ или $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$.