Номер 32, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 32, страница 67.

Условие.

7.32. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ воспользуемся формулой $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Наша задача — выразить $R$ и $H$ через данные из условия: площадь основания $S$, угол дуги $\alpha$ и угол наклона диагонали $\beta$.

1. Нахождение радиуса основания R.
Площадь основания цилиндра (круга) задана как $S$. Формула площади круга: $S = \pi R^2$.
Из этой формулы выразим радиус основания:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

2. Нахождение размеров сечения.
Плоскость, параллельная оси цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая является хордой $a$ в основании. Эта хорда стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$.
Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $a$ и два радиуса $R$, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник. Центральный угол этого треугольника равен $\alpha$. Длину хорды можно найти, разделив этот треугольник высотой на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R$, а угол при вершине (центре окружности) равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда половина хорды равна $R \sin(\frac{\alpha}{2})$.
Следовательно, длина всей хорды:
$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

3. Нахождение высоты цилиндра H.
Диагональ сечения, хорда $a$ и высота цилиндра $H$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике хорда $a$ является проекцией диагонали на плоскость основания, а высота $H$ — катетом, перпендикулярным основанию. Угол между диагональю и ее проекцией (хордой $a$) по условию равен $\beta$.
Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$.
Отсюда выражаем высоту $H$:
$H = a \tan(\beta)$.
Подставим найденное ранее выражение для хорды $a$:
$H = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

4. Вычисление площади боковой поверхности.
Теперь у нас есть все необходимое для нахождения площади боковой поверхности. Подставим выражение для $H$ в основную формулу:
$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi R \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right)$.
Упростим выражение:
$S_{бок} = 4\pi R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.
Мы знаем, что площадь основания $S = \pi R^2$. Заменим $\pi R^2$ в нашей формуле на $S$:
$S_{бок} = 4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$